Puntos críticos, máximos y mínimos, puntos de inflexión de funciones de 4° grado

Las funciones de 3° grado tienen 2 puntos críticos, uno máximo y otro mínimo, así mismo un solo punto de inflexión.
Las funciones de 4 ° grado tienen 3 puntos críticos y 2 puntos de inflexión.
Ejemplo:
Y= X4 – 2X2 + 1
• Puntos críticos (máximos y mínimos) Y´= 4x3 – 4x
Simplificar 4x3 – 4x /4 = x3 – x
x3 – x = x (x+1) (x-1)
• Puntos críticos de x x=0 x=-1 x=1
• Puntos críticos y
Sustituir en la función original
F(0)= (0)4 – 2 (0)2 + 1= 1 (0,1)
F(-1)= (-1) – 2 (-1)2 +1= 0 ( -1,-0)
F(1)= (1)4 – 2(1)2 + 1=0 (1,0)
• Puntos de inflación f´´(y)= 12x2 – 4
Simplificar 12x2 – 4/4 = 3x2 – 1
Igualar a 0 y despejar
3x2-1=0
3x2=1
x=√1/3
x= .56 x=-.56
Sustituir
y=(.56)4 – 2(.56)2 + 1 = .47 (.56,.47)
y=(-.56)4 – 2(-.56)2 + 1 = .47 (-.56,47)

Punto de inflexión

El punto de inflexión esta ubicado en el valor de “x” en el que cambia la dirección de una concavidad puede ser de

El punto de inflexión se determina en base a la segunda derivada de la función.

Características de una función

Se dice que las funciones son cóncavas

Las funciones de 3° grado tienen diferentes concavidades hacia abajo u hacia arriba

Así mismo existe otra característica en la que se aprecia que una función se creciente o decreciente

Creciente: cuando “x” aumenta y “y” también
Decreciente: cuando “x” aumenta y “y” disminuye

Puntos críticos, máximos o mínimos

El punto crítico se ubica en el punto tangencial de una recta horizontal con pendiente “0”.

Ecuación de la línea normal

La recta normal a una curva en un punto de tangencia dada, es una recta perpendicular a la tangente de dicho punto. Para determinar la pendiente de una línea normal se utilizara la formula m= -1/f(x)2
Caso 1
Determina la ecuación de la línea normal a la función f(x)= x2 + 3x + 6 en el punto x=3
1. Sustituir x en la ecuación de la curva para determinar y y-y1=m(x-x1)
F(3)= (3)2 + 3(3) + 6
y= 24
2. Determina la pendiente m= -1/f´(x) mediante la formula de la pendiente de una recta normal que intercepta a una curva
M= -1 / 2x+3
M= -1/ 2(24) + 3
M= -1/ 51
M= 0.019
3. Sustituir la ecuación de la formula punto-pendiente y-y1=m(x-x1)
y- 24 = 0.019 ( x – 3)
y= 0.019x + 0.057 + 24
y= 0.019x + 24.057

Caso 2
En los ejercicios para determinar la línea tangente de una función derivada en los que nos aporten solo 2 datos se aplica diferentes pasos
1. Refexiona que tienes en el punto y, por lo que será necesario sustituir x en la función
F(x)= x2 -4x +3 en x=4
F(2)= (4)2 – 4(4) + 3
Y= 3
2. Derivamos la función
F´(x)= 2x – 4
3. F(2)= 2(4) – 4
F(2)= 4
M=4
4. y-y1=m(x-x1)
5. y- 3= 4 (x – 4)
y= 4x - 13

Aplicación de la derivada

La ecuación de la línea tangente
Si una función es deruvable en un punto P1 (x1,y1) entonces la grafica de la función tiene una tangente de dicho punto, cuya pendiente es m1= f´(x1)
La línea tangente es la recta que toca un punto de curva. Punto de tangencia es el punto en común de la curva de la línea tangente.
Caso 1
Es cuando se nos presentan 3 datos; la función, el punto “x” y el punto “y”.
1. Derivar la función
F(x)= 2x2+ 4x + 8
F´(x)= 4x+4
2. Sustituir el punto de x en la función
F´(2)= 4(2)+4
F´(2)=12
M=12
3. Sustituir el punto tangente en la ecuación para punto-pendiente y-y1=m(x-x1)
y-4=12(x-2)
y=12x-24+4
y=12x – 20

Razón de cambio promedio ∆y / ∆x

1. Determina el incremento de la variable “x” ∆ x
F(x)= 4x+3 x1= 0 x2=2
Formula ∆ x = x2-x1
∆x= 2-0 = 2
2. Determina el incremento de la variable “y” ∆y
Formula ∆y f(x) = f(x2) – f(x1)
F(x)= 4(2)+3 -(4(0)+3)
∆y = 8
3. Determina ∆y / ∆x
∆y / ∆x= 8/2
∆y / ∆x=4

Regla de la cadena

Se emplea cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia utilizando la ecuación f(x)= n(u)n-1 (u´)
Ejemplo:
F(x)= ( x2+3)3
F´(x)= 3 (x2+3)2 (2x)
F´(x)= 3(2x)
F´(x)=6x (x2+3)2
1. Pasar el exponente como 1° termino, la función igual y se elimina 1 al exponente
2. Se deriva la función
3. Pasar el termino derivado a segundo termino y multiplicarlo
4. Se pasa la función igual

Regla del cociente

Esta regla se aplica a las funciones poli minales de división y su formula es f(x)= u´v – uv´/ v2
Ejemplo:
F(x)= (2x3 + 3 ) / (3x4 – 5 )
U´= 6x2 V´= 12x3
F´(x)= (6x2)(3x4 - 5) – (2x3 + 3)(12x3)/ (3x4-5)2
F´(x)=18x6 – 30x2 – 24x6 + 36x3/ (3x4-5)2
F´(x)= -6x6 -30x2 + 36x3/ (3x4-5)2
1. Transforma
2. Derivar
3. Volver a Transformar

Reglas del Producto

Se utiliza cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios, aplicándose la formula f(x) u´v + uv´
Ejemplo:
F(x)= ( 3x2 – 4 ) ( 2x – 2 )
U´= 6x V´=2
F´(x)= (6x)(2x-2) + ( 3x2 – 4)(2)
F´(x)= 12x2 – 12x + 6x2 – 8
F´(x)= 18x2 -12x – 8
1. Transforma
2. Derivar
3. Volver a Transformar

Suma de Funciones

Para derivar una suma o resta de funciones se deriva cada término

Ejemplo:
F(x)= 3x3 + 5x2 + 2x-1 + 6
F´(x)= 9x2 + 10x -2x-2
F´(x)= 9x2 + 10x -2/x2

1. Transforma
2. Derivar
3. Volver a Transformar

Reglas Básicas

1. Para una constante “a”
Si f(x) = a, su derivada es f´(x)=0
Ejemplo:
f(x)= 8, su derivada es f´(x)=0
2. Para la función identidad f(x)=x
Si f(x)=x, su derivada es f´(x)=1
Ejemplo:
F(x)= x, su derivada es f´(x)=1
3. Para una constante “a” por una variable “x”:
Si f(x)=ax, su derivada es f´(x)= a
Ejemplo:
F(x)= 4x, su derivada es f´(x)=4
4. Para una variable “x” elevada a una potencia “n”:
Si f(x)= xn, su derivada es f´(x)= nxn-1
Ejemplo:
F(x)= x3, su derivada es f´(x)= 3x2
5. Para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”:
Si f(x)= axn, su derivada es f´(x)= anxn-1
Ejemplo:
F(x)= 5x2, su derivada es f´(x)=10x

La Derivada

Es el limite del cociente del incremento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a ser cero.
F(x)= axn
F(x)= anxn-1